Division de enteros
La división no es una operación cerrada, lo cual quiere decir que, en general, el resultado de dividir dos números enteros no será otro número entero, a menos que el dividendo sea un múltiplo entero del divisor.
Existen criterios de divisibilidad para números enteros (por ejemplo, todo número terminado en 0,2,4,6 u 8 será divisible entre 2), utilizados particularmente para descomponer los enteros en factores primos, lo que se usa en cálculos como el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.
Ejemplo
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = −2
(−10) : 5 = −2
Potenciación: es la operacion en la cual se multiplica un numero (o termino algebraico) llamado "base" por si mismo tantas veces lo indique un numero que esta arriba de la base llamado "exponente".
Ej.: 4^2 = 4 x 4 = 16 (4 multiplicado 2 veces es igual a 16)
4 (la base) : es el número que se multiplica
2 (exponente) : es el número de veces que se multiplica la base
16 (potencia) : es el resultado de la potenciación
Radicación: es la operacion inversa a la radicacion por lo que si un numero "x" se afecta por ambas operaciones con igual numero en el indice y el exponente estas se anulan. Consiste en encontar un numero que elevado ala potencia señalada por el indice de como resultado el numero dado.
2√36= 6 (6 multiplicado 2 veces (6x6) es 36)
2 (el índice) : es el número de veces que está multiplicado la base
36 (la base) : es el número al cual se le extrae la raíz
6 (raíz) : es el resultado de la radicación
Números racionales
los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.
Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener
Ejemplo
1,2,3,4,5
-1,-2,-3,-4,-5
3/4 y 1/6 y 2/4 y 8/2 y también 4/5
Representación de números racionales en la recta numérica.
Recordemos que el conjunto de los números enteros se denota por Z y se define de la manera siguiente:
Podemos representar los números enteros como puntos de una recta de la manera siguiente:
El segmento de recta comprendido entre dos números enteros consecutivos se llama "segmento unidad".
De manera similar, recordemos que el conjunto de los números racionales se denota por 0 y se define de la manera siguiente:
Debido a que si a, b, b>0 entonces se cumple que a/-b = -a/b
se conviene en representar los números racionales preferentemente por medio de fracciones en las cuales el denominador es un número entero positivo.
Recordemos además que si a, b, b>0 el número racional a/b
se puede considerar como el cociente que se obtiene al dividir a por b ; en donde b indica el número de partes en que se divide la unidad y a el número de partes que se toman.
De esta manera, si se divide en dos partes iguales cada segmento unidad en la recta numérica, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 2, como se muestra en el ejemplo siguiente.
De igual manera, si se dividen en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 3, como se muestra en el ejemplo siguiente.
Adición:
La operación que permite calcular la suma de dos números racionales se llama adición. Decimos que la adición en Q es una operación binaria interna porque asocia a cada dos números racionales un número racional. Ejemplo
la expresion
Propiedades de la adición:
a.-) Propiedad Conmutativa: "El orden de los sumandos no altera la suma" esta propiedad se cumple para cualquiera que sena los números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad conmutativa de la adición.
Ejemplo:
si
b.-) Propiedad Asociativa: la forma como se agrupan los sumandos no altera la suma, esta propiedad se verifica para cualquiera que sea la terna de números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad asociativa de la adición. En general
si a/b.c/d y e/f representan números racionales cualquiera, entonces
c.-) Elemento Neutro: Cualquier número racional a/b sumando con cero (0) es igual a a/b. El cero (0) se llama elemento neutro de la adición
luego la suma de 5/9 y 0 es 5/9
el cero es elemento neutro de la adición de números racionales.
d.-) Elemento simétrico: en general si a/b es un número racional, entonces: a/b + (-a/b) = 0 ya que todo número racional tiene un simétrico u opuesto con respecto a la adición por ejemplo:
luego la suma de 3/5 y su opuesto –3/5 = 0
Propiedades de los números racionales
Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:
Entre las propiedades de la suma y resta están:
Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo
necesitara.
ab+cd=ef
Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:
(ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)
Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:
ab+cd=cd+ab
Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.
ab+0=ab
Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.
ab−ab=0
Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:
Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.
ab×cd=ef
Esta además aplica con la división
ab÷cd=ef
Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.
(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)
Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.
ab×cd=cd×ab
Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:
ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef
Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.
ab×1=ab
ab÷1=ab